黎曼和
对一个在闭区间有定义的实值函数，关于取样分割、的黎曼和定义为以下和式：
和式中的每一项是子区间长度与在处的函数值的乘积。直观地说，就是以标记点到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。[1]
黎曼积分
不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。
要使得“越来越‘精细’”有效，需要把趋于0。如此中的函数值才会与接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。
严格定义如下：是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割、，只要它的子区间长度最大值，就有：[2]
也就是说，对于一个函数，如果在闭区间上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么在闭区间上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数为黎曼可积的。
这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。
另一个定义: 是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在一个取样分割、，使得对于任何比其“精细”的分割 and ，都有：
这两个定义是等价的。如果有一个满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于，于是满足
其次证明满足第二个定义的也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分（达布积分那一文章里并没有说明这个原因，来源请求）。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与相差不超过。令等于，其中和是在上的上确界和下确界。再令是和中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于时，关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差，所以和至多相差。
由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。[2]