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Riemann sum - 黎曼和
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黎曼和
对一个在闭区间有定义的实值函数,关于取样分割、的黎曼和定义为以下和式:
和式中的每一项是子区间长度与在处的函数值的乘积。直观地说,就是以标记点到X轴的距离为高,以分割的子区间为长的矩形的面积。[1]
黎曼积分
不太严格地来说,黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候,黎曼和趋向的极限。下面的证明中,会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。
要使得“越来越‘精细’”有效,需要把趋于0。如此中的函数值才会与接近,矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上,这就是黎曼积分定义的大概描述。
严格定义如下:是函数在闭区间上的黎曼积分,当且仅当对于任意的,都存在,使得对于任意的取样分割、,只要它的子区间长度最大值,就有:[2]
也就是说,对于一个函数,如果在闭区间上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值,那么在闭区间上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限,这时候称函数为黎曼可积的。
这个定义的缺陷是没有可操作性,因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义,然后证明它们是等价的。
另一个定义: 是函数在闭区间上的黎曼积分,当且仅当对于任意的,都存在一个取样分割、,使得对于任何比其“精细”的分割 and ,都有:
这两个定义是等价的。如果有一个满足了其中一个定义,那么它也满足另一个。首先,如果有一个满足第一个定义,那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割,子区间长度最大值显然也会小于,于是满足
其次证明满足第二个定义的也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念,第二个定义和达布积分的定义是等价的,具体见达布积分(达布积分那一文章里并没有说明这个原因,来源请求)。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与相差不超过。令等于,其中和是在上的上确界和下确界。再令是和中的较小者。可以看出,当一个分割的子区间长度最大值小于时,关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差,所以和至多相差。
由于以上原因,黎曼积分通常被定义为达布积分(即第二个定义),因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。[2]
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